【自 序】

本书名为《易经与传统数学》，顾名思义，本书主要讨论易卦所涉及的数学问题，而这些问题所包括范畴之广泛，相信超过很多读者的想象。

很多人都知道易卦和 2 进制数学有关，因为当阳爻和阴爻分别以 1 和 0 代替，又当易卦依卦序﹝伏羲卦序﹞排列时，以 1 和 0 代替的易卦便成为有次序的 2 进制数，所以便说“易卦和 2 进制数学有关”。

近世有很多学者曾经在这方面作出研究，但因为易卦有不同的爻数，换言之这些易卦所代表的 2 进制数有不同的位数，不同位数的 2 进制数经加或减﹝排除乘和除﹞的运算后所得的结果很难与易卦扯上关系，在这种情况下，易卦和 2 进制数学的关系便显得薄弱，所以很多学者只能局限在把易卦改写成 1 和 0 的领域内而无法向前迈进。

有学者把阳仪和阴仪以不同的符号或数目字﹝不用 1 和 0﹞来表示，虽然解释言之成理，但这只能够说是以符号取代阳仪和阴仪，完全谈不上数学，更谈不上运算。亦有学者从其它的数学领域去研究易卦，但过于偏重理论而缺乏系统，只能在某方面成立，结果只能说是“易经数学中的哲学思想”。

笔者经过多年的研究，易卦和 2 进制数的关系可以突破爻数限制的范畴，不论多少爻的卦﹝甚至 0 爻卦的太极﹞均可以以一个复数来表示，笔者称之为“易卦复数”﹝或简称为“卦复数”﹞，阳仪的卦复数是 1 + i，阴仪的卦复数是 2 ，i 是虚数单位 √ – 1 ；复数的实数部份是卦序﹝伏羲卦序﹞，虚数部份是卦的 0 1 表示法﹝即 2 进制数﹞所化成的 10 进制数，这两个数可以唯一地表示一个易卦。笔者这个概念源于爻数相同的卦可以自成一个集合，再把这个集合内的卦依伏羲卦序排列，所以在已知一卦的爻数和它的伏羲卦序排列的情况下，一定可知道该卦是甚么卦，问题是怎样去用数学方式来表达，而笔者的卦复数就圆满地解决了这个问题。

既然爻数和卦序可以唯一地表达一个易卦，所以一卦的爻数如果是 n 和卦序是 a 的话，那么一卦便可以唯一地表达为 a + (2ⁿ – a)i ，这个表达式的导出，本书有详细的说明。

1 + i 和 2 是笔者的易卦数学的基本元素，也是 a + (2ⁿ – a)i 的特例，这相当于所有易卦的基本元素是阳仪和阴仪一样。不过最重要的是，易卦复数在特定的情况下，可以作有限度的四则运算。

可能有人会问卦复数有什么用，与传统数学又有什么关系，前文笔者曾经说过，易卦和 2 进制数有关，显然卦复数所能解决的数学问题也少不免和 2 进制数有关，较为突出的便是循环 2 进制小数和 10 进制数的关系和互化。

另一方面，易卦复数可以标示在坐标纸上，和普通的复数﹝a + bi﹞没有甚么分别，不过所有爻数相同的易卦复数都在同一条直线上，笔者称之为“卦线”，不同爻数的卦在不同的卦线上，这样卦线和易卦复数标示在坐标纸上便形成“易卦卦线图”。因为这个图能够包含所有的易卦，同时又能导出和解决其它的与 2 进制有关的传统数学问题，所以易卦卦线图能够代表一个完整的易卦复数和 2 进制数学体系。

笔者经常强调易卦复数的 2 进制数学比传统的 2 进制数学更为完善，更容易解决与 2 进制数学有关的问题，即是说，传统的 2 进制数学只能说是易卦数学中的一部分。

相信令很多人有兴趣的还是易卦卦线图可以表达“无极”的位置，“无极”应否存在一向是个具争议性的课题，但是从卦线图看来，无极的存在是毋庸争议的。

从易卦复数所引申的数学领域尚有易卦之“加一倍法”、矢量、易卦集合、矩阵、行列式、易卦复数的分解、级数等，这都是一些中等程度的数学问题。

本书亦谈及“画卦揲蓍”的数学问题。揲蓍时为何要“挂一”？为何不“挂二”、“挂三”，或“挂”其它数目？何谓“四营”？本书均有详细说明。

至于揲蓍画卦时古代有所谓“挂法”和“不挂法”之分，而所得之重、拆、单和交的概率亦不相同，两者的分别和所得的四种爻﹝指重、拆、单和交﹞的概率之计算法在本书有详尽的解说。附带一提的是，数学中之概率论相信最早出现的就是我国的揲蓍画卦法。

除了揲蓍画卦外，拋掷三个铜钱也可以画卦，那么以掷铜钱方法画卦与揲蓍法有什么不同？显然以掷钱法起卦较为简单，那么还有没有其它的优点？

上述问题均可在本书——寻出解答。

此外本书亦提及易卦和传统数学有关的问题，这些数学问题并不深奥，而且富于趣味性。

笔者自惭谫陋，学养未深，加以古籍浩瀚，未能——涉猎，难免挂一漏万，有劳四方大雅，不吝斧正。

最后，笔者感谢郭彧兄在百忙中抽出时间代为写序。